清采NOTE

1. 下列信号中不存在Fourier变换的是（B）。

• A. $f(t)=u(t)-u(t-3)$
• B. $f(t)=e^{2t}$
• C. $f(t)=1$
• D. $f(t)=\delta(t)$

2. 已知$\mathscr{F}[f(t)]=F(\mathrm{j}\omega)$，则（B）。

• A. $\mathscr{F}[f(t-t_0)]=e^{\mathrm{j}\omega t_0}F(\mathrm{j}\omega)$
• B. $\mathscr{F}[f'(t)]=\mathrm{j}\omega F(\mathrm{j}\omega)$
• C. $\mathscr{F}[f(t)]e^{\mathrm{j}\omega_0 t}=F(\mathrm{j}(\omega+\omega_0))$
• D. $\mathscr{F}[F(\mathrm{j}t)]=2\pi f(\omega)$

3. 从频谱的连续性（连续或者离散）角度看，连续周期信号的频谱$ C_n $为（离散）频谱，而连续非周期信号的频谱$ F(\mathrm{j}\omega) $为（连续）频谱。

4. 连续时间信号$f(t)$的Fourier变换定义式为$F(\mathrm{j}\omega)=$（$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t$）；若$f(t)=e^{-t}u(t)$，则$F(\mathrm{j}\omega)=$（$\dfrac{1}{1+\mathrm{j}\omega}$）。

5. 已知$ \mathcal{F}[f(t)] = \frac{1}{\mathrm{j}\omega} $，并且设$ g_1(t) = f(t)*f''(t) $，$ g_2(t)=g_1(t)*\delta(\frac{t}{a}-b) $，其中$ ab=1 $，试证：

• $G_1(\mathrm{j}\omega) = \mathcal{F}[g_1(t)] = 1$
• $G_2(\mathrm{j}\omega) = \mathcal{F}[g_2(t)] = |a|e^{-\mathrm{j}\omega}$

6. 已知$\mathscr{F}[f(t)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\mathrm{j}\omega t}\,\mathrm{d}t=F(\mathrm{j}\omega)$。试证：

• $\mathscr{F}[f(t-t_0)]=F(\mathrm{j}\omega)e^{-\mathrm{j}\omega t_0}$，其中$t_0$为实数；
• $\mathscr{F}[f(t)e^{\mathrm{j}\omega_0t}]=F(\mathrm{j}(\omega-\omega_0))$，其中$\omega_0$为实数。

7. 任意非周期信号存在Fourier变换的充分条件包括三部分，以下哪项不正确？（A）

• A. 信号在任意有限区间内有界
• B. 信号在任意有限区间内存在有限数量的第一类间断点
• C. 信号在任意有限区间内存在有限数量的极大值和极小值
• D. 信号绝对可积