清采NOTE

1. 可以同时求解系统零状态响应和零输入响应的方法是（C）

• A. 基于冲激响应的时域分析方法
• B. 基于Fourier变换的频域分析方法
• C. 基于Laplace变换的复频域分析方法
• D. 以上方法均不能

2. 信号$ f(t)=e^{-2t}u(t) $的单边Laplace变换为（$\dfrac{1}{s+2}$），收敛域为（$\mathrm{Re}(s)>-2$）；信号$ f(t)=tu(t) $的单边Laplace变换为（$\dfrac{1}{s^2}$），收敛域为（$\mathrm{Re}(s)>0$）。

3. 已知某稳定连续时间LTI系统的冲激响应为$ h(t) $，那么其Fourier变换$ H(\mathrm{j}\omega) $称为系统的（频率响应），其单边Laplace变换$ H(s) $称为系统的（传递函数）。

4. 已知某连续时间LTI系统的时域描述为 $y''(t)+5y'(t)+6y(t) = 5f'(t) + 2f(t),~t\geqslant 0$， 输入为$ f(t)=u(t) $。试利用复频域分析方法计算：

• 系统函数$ H(s) $；
• 系统的零状态响应$ y_f(t) $。

答：第1问参考课件第75页求$H(s)$的部分；第2问参考课件第66-67页求$y_f(t)$的部分。

5. 已知某信号$f(t)$的Laplace变换为 $F(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+2)},~\mathrm{Re}(s)>0$，请完成：

• 求信号的初值$f(0^+)$和终值$f(\infty)$；
• 求$F(s)$的Laplace反变换。

答：第1问参考课件第44页；第2问参考课件第55页。

6. 已知某信号$f(t)$的Laplace变换为$F(s)=\dfrac{as^3+bs^2+7s}{s^2+6s+8}$, $\mathrm{Re}(s)>-2$。试证：

• 当$a\neq 0$且$b\neq 6a$时，$f(t)$中同时包含冲激信号及其导数；
• 当$a=0$且$b= 1$时，$f(t)=\delta(t)-5e^{-2t}u(t)+6e^{-4t}u(t)$。